ΠΗΓΗ: ΒΛΑΧΟΣ Α. ΙΩΑΝΝΗΣ

Σχολικός Σύμβουλος Φυσικών

Επίλυση προβλήματος: τα συμπεράσματα από τις έρευνες και οι προτεινόμενες διδακτικές στρατηγικές

Αίτια που δυσκολεύουν την επίλυση προβλημάτων

Ψυχολογικά εμπόδια: άγχος, απογοήτευση από προηγούμενες προσπάθειες, νοιώθουν ότι πάντοτε είναι υπό αξιολόγηση, συγχέουν τα προβλήματα που τους εξασκούν στην απόκτηση δεξιοτήτων για την επίλυση των προβλημάτων με αυτά που αξιολογούν αν οι σχετικές δεξιότητες έχουν αποκτηθεί.

Προτάσεις

1. Οικοδομείστε ένα παιδαγωγικό κλίμα που μειώνει στο άγχος και την ανασφάλεια των μαθητών. Κάντε σαφές ότι δεν είστε κάθε στιγμή αξιολογητής αλλά είσαστε και ο έμπειρος λύτης προβλημάτων που τους βοηθά να αποκτήσουν τις σχετικές δεξιότητες.
2. Ξεκινήστε αναπτύσσοντας μία –μία τις δεξιότητες που απαιτούνται για την επίλυση των προβλημάτων. Πχ αρχίστε με την εξάσκηση στους υπολογισμούς με βάση τις μαθηματικές σχέσεις, την επίλυση των σχέσεων ως μια μεταβλητή, το συνδυασμό σχέσεων για τον υπολογισμός μιας μεταβλητής, το σχεδιασμό στρατηγικής, την κριτική στρατηγικών, κλπ
3. Δώστε παραδείγματα προβλημάτων που είναι εκπαιδευτικά και προβλημάτων που είναι για την αξιολόγηση.
4. Μπορείτε να δώσετε στους μαθητές προβλήματα και λύσεις από παλαιότερα διαγωνίσματα και να τους καλέσετε να βρουν τα λάθη που υπάρχουν. Η αντιστροφή των ρόλων και κυρίως το ότι “και άλλοι κάνουν λάθη” τους δίνει κουράγιο. ΠΡΟΣΟΧΗ πρέπει να έχετε σβήσει τα στοιχεία των μαθητών που είχαν λύσεις αυτά τα προβλήματα καθώς και τις δικές σας επισημάνεις πάνω στα γραπτά. Δηλαδή βγάλτε φωτοαντίγραφα και σβήστε τα ονόματα από τα τεστ ή τα διαγωνίσματα πριν τα διορθώσετε.
5. Ομαδοσυνεργατική επίλυση. Σχηματίστε μεικτές ομάδες από μαθητές και μαθήτριες με χαμηλή και υψηλή επίδοση στην επίλυση προβλημάτων και αναθέστε του να λύσουν προβλήματα. Η έρευνα έχει δείξει ότι οι συμμαθητές είναι καλύτεροι δάσκαλοι από εμάς γιατί βρίσκονται πολύ πιο κοντά, από πλευράς κατανόησης των δυσκολιών επίλυσης, στους μέτριους ή τους αναποτελεσματικούς λύτες από ότι εμείς οι διδάσκοντες.
6. Δύσκολο να επιτευχθεί αλλά πολύ αποτελεσματικό είναι να αποκτήσουν οι μαθητές την βεβαιότητα ότι τα καταφέρνουν, ότι μπορούν να λύσουν προβλήματα. Αυτή η βεβαιότητα θα τους κάνει να μην παραιτούνται με την πρώτη δυσκολία, να προσπαθούν και να “παλεύουν” για να λύσουν ένα πρόβλημα, πριν καταφύγουν στις Λύσεις που συνοδεύουν τα σχολικά βιβλία, τα εξωσχολικά βοηθήματα, τα φροντιστήρια, κλπ.

Αίτια που δυσκολεύουν την επίλυση προβλημάτων

Οι μαθητές, και όταν ακόμη λύνουν επιτυχώς ένα πρόβλημα, δύσκολα μπορούν να μας πουν το πώς το σκέφτηκαν και το πώς σχεδίασαν την στρατηγική τους. (έλλειψη μεταγνώσης για την επίλυση)

Προτάσεις

1. Ανεξάρτητα από τα αν έλυσαν σωστά ή λάθος το πρόβλημα ζητείστε τους, όταν έχουν ολοκληρώσει την επίλυση, να σας γράψουν το πώς σκέφτηκαν για να το λύσουν και το πώς σχεδίασαν την στρατηγική τους. Τα κείμενα που θα προκύψουν από αυτή τη δραστηριότητα καθώς και τις λύσεις που έχουν δώσει μπορείτε: α) Να τα πάρετε εσείς, να τα σχολιάσετε και να τους τα επιστρέψετε. β)Να τους ζητήσετε να τα συζητήσουν σε ομάδες 2-3 μαθητών και να ξαναλύσουν τα προβλήματα μετά από τη συζήτηση.
2. Μπορείτε εσείς ο ίδιοι να λύσετε ένα πρόβλημα και μετά να τους πείτε το πώς σκεφθήκατε, τι εναλλακτικές πορείες σκεφθήκατε το πώς καταλήξατε να επιλέξετε μια και να την υλοποιήσετε, το πώς ελέγξατε αν η λύση σας ήταν σωστή κλπ

Αίτια που δυσκολεύουν την επίλυση προβλημάτων

Το πρόβλημα μέσα στο πρόβλημα

Οι μαθητές δεν μπορεί να προσδιορίσουν το σημείο κλειδί ή τον πυρήνα του προβλήματος σε μια εκφώνηση. Αν για παράδειγμα το πηνίο είναι ιδανικό ή όχι σε ένα πρόβλημα κυκλώματος RLC στο εναλλασσόμενο ρεύμα είναι καθοριστικό για την επίλυσή του. Παρόμοια αν υπάρχει ή όχι τριβή, αν το άλας είναι ευδιάλυτο ή όχι κλπ

Προτάσεις

Δώστε τους ένα πρόβλημα και την εξής οδηγία: αφού το μελετήσουν να απαντήσουν γραπτώς στην ερώτηση: Ποιο είναι ουσιαστικά το πρόβλημα μέσα στο πρόβλημα; Ποιο στοιχείο, αν δεν εκτιμηθεί σωστά, θα οδηγήσει σε λάθος λύση;

Στη συνέχεια ζητείστε να συζητήσουν σε ομάδες τις απαντήσεις τους. Τα συμπεράσματα κάθε ομάδας θα παρουσιαστούν στην τάξη. Εσείς θα τα καταγράψετε στον πίνακα και στη συνέχεια θα τα σχολιάσετε. Εσείς, ο έμπειρος και αποτελεσματικός λύτης θα τους βοηθήσετε να μάθουν να βρίσκουν το πρόβλημα μέσα στο πρόβλημα.

Αίτια που δυσκολεύουν την επίλυση προβλημάτων

Οι μαθητές λύνουν τα καινούργια προβλήματα σε αναλογία με αυτά που έχουν λύσει. Δηλαδή έχουν εμπεδώσει την ακολουθούμενη στρατηγική, τα έχουν ταξινομήσει σε κατηγορίες και μετά από την σχετική εξάσκηση οι μαθητές τα λύνουν αλγοριθμικά. Μπορεί όμως όλα τα προβλήματα να λυθούν σε αναλογία αυτών που ξέρουμε; Αν οι μαθητές λύσουν ένα πολύ μεγάλο αριθμό προβλημάτων τα οποία έχουν ταξινομηθεί σε κατηγορίες, τότε το πιο πιθανό είναι ότι τα προβλήματα που θα συναντήσουν στις εξετάσεις μπορεί να τα λύσουν αναλογικά προς αυτά που έχουν μελετήσει και με αλγοριθμικό τρόπο. Μπορεί όμως οι όλοι οι μαθητές να πετύχουν να κάτι τέτοιο; Η απάντηση είναι όχι. Όσοι το πετυχαίνουν το κάνουν με μεγάλο τίμημα. Και το τίμημα δεν είναι μόνο ο κόπος τους. Το πλέον σημαντικό είναι η πνευματική αγκύλωση που θα πάθουν. Ακόμα και μια μικρή αλλαγή στα δευτερεύοντα στοιχεία της εκφώνησης μπορεί να δυσκολέψει τους μαθητές να αναγνωρίσουν ότι το προς επίλυση πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε αναλογία κάποιου άλλου που έχουν λύσει παλαιότερα. Μια μικρή αλλαγή σε κάτι που φαίνεται δευτερεύον, πχ φορά μαγνητικού πεδίου, μπορεί να μην εκτιμηθεί σωστά από τους μαθητές και αυτοί σκεπτόμενοι αλγοριθμικά να λύσουν είτε λανθασμένα το πρόβλημα ή να λύσουν αυτό που θυμούνται.

Προτάσεις

Ζητείστε από του μαθητές, πριν λύσουν ένα πρόβλημα να σας απαντήσουν γραπτά στις εξής ερωτήσεις:

1. Το πρόβλημα που πρόκειται να λύσετε μοιάζει με κάποιο άλλο που έχετε λύσει παλαιότερα; Αν ΝΑΙ απάντησε τις ερωτήσεις 2,3,4. Αν όχι απάντησε στις ερωτήσεις 5 και 6.
2. Σε τι ακριβώς μοιάζει το πρόβλημα που ξέρεις με αυτό που πρόκειται να λύσεις;
3. Ποια στοιχεία από την επίλυση του γνωστού σου προβλήματος θα χρησιμοποιήσεις για την επίλυση του καινούργιου;
4. Τι δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις από την επίλυση του προβλήματος που ξέρεις στην επίλυση του νέου προβλήματος;
5. Το πρόβλημα που πρόκειται να λύσεις δεν μοιάζει με κάποιο που ξέρεις. Μπορείς να προσδιορίσεις σε τι διαφέρουν;
6. Αν και διαφορετικά, τα δύο προβλήματα είναι από ίδιο κεφάλαιο ή τα ίδια κεφάλαια. Ποια φαινόμενα, ποιες έννοιες, ποιοι νόμοι είναι κοινοί και για τα δύο προβλήματα; Ποια  από τα κοινά στοιχεία θα χρησιμοποιήσεις για την επίλυση των προβλημάτων;

Όταν θα έχουν ολοκληρώσει τις απαντήσεις ζήτησέ τους να συζητήσουν σε ομάδες 2-3 ατόμων τις απαντήσεις τους. Στη συνέχεια παρουσίασε και εσύ τις απαντήσεις σου στα ίδια ερωτήματα και μετά προχώρησε στην αξιοποίηση των δικών σου απαντήσεων στην επίλυση του προβλήματος. Επανέλαβε τη διαδικασία αρκετές φορές ώστε να την υιοθετήσουν ως βήμα της δικής τους στρατηγικής στην επίλυση προβλημάτων. Μπορείς να δώσεις προβλήματα για το σπίτι και να τους ζητήσεις να απαντήσουν τις παραπάνω ερωτήσεις για κάθε ένα από αυτά.

Αίτια που δυσκολεύουν την επίλυση προβλημάτων

Τα χαρακτηριστικά του εννοιολογικού πλαισίου των μαθητών.

Οι έννοιες στις διάφορες ενότητες της Φυσικής, της Χημείας ή της Βιολογίας δεν είναι μεταξύ τους ασύνδετες. Αντίθετα συνδέονται μεταξύ τους σχηματίζοντας ένα πλέγμα στο οποίο μπορούμε να διακρίνουμε τις βασικές (πχ θέση, χρονική στιγμή) από τις παράγωγες (ταχύτητα, επιτάχυνση), τις γενικές (πχ ενέργεια) από τις επιμέρους (πχ κινητική, δυναμική) τις κεντρικές (πχ ηλεκτρικό πεδίο) από τις περιφερειακές (δυναμικές γραμμές, ροή, ένταση, δυναμικό). Οι σχέσεις μεταξύ των εννοιών προσδιορίζονται από την παραγωγή ( πχ ταχύτητα), την υπαγωγή (πχ η κινητική υπάγεται στην μηχανική ενέργεια), από την σχέση αιτίου αποτελέσματος ( δύναμη - μεταβολή της ορμής), από την αμοιβαιότητα ( πχ δράση-αντίδραση), από την δυναμική αλληλεξάρτηση (πχ εξάτμιση - υγροποίηση σε κλειστό δοχείο) , κ.α. Πολλές από τις σχέσεις αυτές είναι είτε νόμοι ( πχ 2^ος Νεύτωνα), είτε σχέσεις που έχουν ορισθεί ( πχ α=Δu/Δt, s=υt), είτε σχέσεις ποσοτικές πχ διατήρηση ενέργειας, διατήρηση μάζας. Ένα εννοιολογικό πλέγμα μπορεί να συμπληρωθεί από ένα πλέγμα σχέσεων μεταξύ των εννοιών. Τα πλέγματα των έμπειρων και αποτελεσματικών λυτών προβλημάτων διαφέρουν πάρα πολύ από αυτά των αρχάριων ή των αναποτελεσματικών λυτών (έρευνα ομάδας UMPERG, USA, 1985-2001) Τα εννοιολογικά πλέγματα των αρχάριων είναι ελλιπή, σε έννοιες, στις σχέσεις μεταξύ εννοιών ή οι έννοιες συσχετίζονται λανθασμένα. Για να γίνει ο αρχάριος ή αναποτελεσματικός λύτης αποτελεσματικός θα πρέπει να αποκτήσει μέσω της διδασκαλίας το κατάλληλο εννοιολογικό πλέγμα.

Προτάσεις

1. Η ανάπτυξη του εννοιολογικού πλέγματος μπορεί να γίνει σταδιακά μέσα από τη διδασκαλία του καθημερινού μαθήματος. Σε κάθε μάθημα, στο τέλος του σε μια λευκή σελίδα χαρτί οι μαθητές γράφουν μέσα σε κύκλους τις έννοιες που διδάχθηκαν και τις μεταξύ τους σχέσεις. Το μικρό αυτό πλέγμα συμπληρώνεται σε κάθε μάθημα τόσο με έννοιες όσο και με σχέσεις μέχρι έως ότου ολοκληρωθεί το κεφάλαιο.
2. Έχοντας δεδομένο το μερικό ή το τελικό εννοιολογικό πλέγμα, ζητάμε από τους μαθητές: α) να εντοπίσουν από τις έννοιες σε αυτόν τις έννοιες που αναφέρει το πρόβλημα, β) να αναζητήσουν μήπως υπάρχουν και άλλες συσχετιζόμενες έννοιες τις οποίες δεν αναφέρει το πρόβλημα αλλά είναι είτε ζητούμενες είτε θα τους χρειαστούν στα ενδιάμεσα βήματα της επίλυσης, γ) να εντοπίσουν και τις σχέσεις μεταξύ των εννοιών οι οποίες θα τους χρησιμεύσουν στην επίλυση.
3. Φτιάχνουμε εμείς οι ίδιοι ένα εννοιολογικό πλέγμα που περιέχει και τις σχέσεις μεταξύ των εννοιών . Επιλέγουμε ένα πρόβλημα. Με βάση το πρόβλημα χαράζουμε στο εννοιολογικό πλέγμα την πορεία επίλυσης σημαδεύοντας τις έννοιες, τις ποσοτικές μεταξύ τους σχέσεις την αφετηρία και τα ενδιάμεσα στάδια. Στη συνέχεια δίνουμε στους μαθητές το πρόβλημα για να λύσουν χρησιμοποιώντας το εννοιολογικό πλέγμα. Σε επόμενο μάθημα τους δίνουμε ένα πρόβλημα ένα εννοιολογικό πλέγμα και τους ζητάμε να αναγνωρίσουν τις έννοιες και να χαράξουν πάνω σε αυτό την πορεία επίλυσης

Αίτια που δυσκολεύουν την επίλυση προβλημάτων

Λύση χωρίς σκέψη και στρατηγική

Οι αρχάριοι και οι αναποτελεσματικοί λύτες προβαίνουν σε ενέργειες επίλυσης πχ γράφουν τύπους αρχίζουν υπολογισμούς, σχεδιάζουν διαγράμματα, κλπ, χωρίς να έχουν καταστρώσει μια πορεία επίλυσης. Οι ενέργειές τους, συνήθως ασυνείδητα, καθοδηγούνται από το τελικό ζητούμενο ή από την αναλογία προς κάποιο άλλο πρόβλημα που έχουν λύσει προηγουμένως. Όμως, όπως έχει προσδιοριστεί από πολλές έρευνες, ο επιτυχημένος και έμπειρος λύτης σκέφτεται αρκετά ( περίπου διπλάσιο χρόνο από το χρόνο που διαθέτει για την ίδια τη λύση) πριν αρχίσει την επίλυση. Καταστρώνει μια στρατηγική αφού πρώτα έχει “μεταγράψει” το πρόβλημα στο πεδίο της θεωρίας ( φαινόμενα, έννοιες, νόμοι, σχέσεις). Στο επίπεδο της θεωρίας, χρησιμοποιώντας τις συμβάσεις ( πχ αρχική θέση των κινητών, ποσότητες αντιδρώντων), τα φαινόμενα και τους νόμους που τα διέπουν αναπαριστά νοητικά το φαινόμενο. Σαν να το βλέπει με τα μάτια της φαντασίας του. Αυτή την αναπαράσταση την αποδίδει με σχήματα ( πχ αρχική, τελική κατάσταση, ενδιάμεσα στάδια), τα οποία σταδιακά συμπληρώνει με τα δεδομένα και ζητούμενα. Σε αυτό το αναπαραστημένο φαινόμενο εφαρμόζει τους νόμους που το διέπουν, χρησιμοποιεί τις σχέσεις μεταξύ των μεγεθών, προσδιορίζει το “πρόβλημα μέσα στο πρόβλημα” Πιο απλά, με την διαδικασία αυτή κατανοεί το πρόβλημα. Με βάση αυτή την νοητική εικόνα και τα ζητούμενα σχεδιάζει τη στρατηγική του, της οποίας τα βήματα σημειώνει. Στην συνέχεια την υλοποιεί και στο τέλος ελέγχει τα αποτελέσματά της. Ο έλεγχος είναι διπλός: α) με βάση το αν τα ζητούμενα προσδιορίστηκαν, β) με βάση τη μεταγραφή του προβλήματος στη θεωρία. Με το (β) ελέγχει αν το αποτέλεσμα είναι συνεπές με τα όσα η θεωρία προβλέπει.

Συνοπτικά: ο λύτης προβλημάτων είναι ταυτόχρονα και “στρατηγός” και “στρατιώτης”. Τον “στρατιώτη” τον εκπαιδεύουμε μέσα από τις ασκήσεις. Τον “στρατηγό” πως θα τον εκπαιδεύσουμε;

Προτάσεις

1. Αποτρέψτε τους μαθητές να προβαίνουν σε ενέργειες επίλυσης πριν κατανοήσουν το πρόβλημα (μεταγραφής το επίπεδο της θεωρίας) καταστρώσουν τη στρατηγική επίλυσης. Ένα αποτελεσματικό “φρένο” είναι να τους υποχρεώσετε να απαντήσουν σε ερωτήσεις με τις οποίες θα ελέγξετε αν έχουν κατανοήσει το πρόβλημα στο επίπεδο της θεωρίας.
2. Εναλλακτικά μπορείτε να τους καλέσετε να κάνουν ένα ή περισσότερα σχήματα στα οποία θα αποδίδουν την αρχική κατάσταση, τα ενδιάμεσα στάδια και την τελική κατάσταση. Τα σχέδια αυτά θα τους καλέσετε να τα συμπληρώσουν συζητώντας με 2-3 συμμαθητές τους.
3. Να τους καλέσετε να σκεφτούν πως θα το λύσουν και να σας παρουσιάσουν τη στρατηγική τους ΧΩΡΙΣ να το έχουν λύσει σε κάποιο πρόχειρο. Εναλλακτικά μπορείτε να τους ζητήσετε να γράψουν τη στρατηγική τους κάτω από το πρόβλημα και να τη συζητήσουν με 2-3 συμμαθητές τους.
4. Μπορείτε να αναθέσετε σε ομάδες 2-3 μαθητών να σχεδιάσουν μια στρατηγική επίλυσης του προβλήματος που τους έχετε δώσει. Κάθε ομάδα θα παρουσιάσει τη στρατηγική της και εσείς θα τη γράψετε στον πίνακα. Στη συνέχεια θα τους καλέσετε να συγκρίνουν τις στρατηγικές που είναι γραμμένες στον πίνακα και να προσδιορίσουν τα αδύνατα σημεία τους ή τα σφάλματά τους. Με δικές σας παρεμβάσεις θα οικοδομηθεί η κατάλληλη στρατηγική ή θα αναδειχθούν τα χαρακτηριστικά της καταλληλότερης από τις προταθείσες.. Στη συνέχεια θα τους καλέσετε να την υλοποιήσουν λύνοντας ο καθένας τους το πρόβλημα. Με τον τρόπο αυτό τους εκπαιδεύετε όχι μόνο στο να καταστρώνουν στρατηγικές επίλυσης αλλά και στο να τις κρίνουν επιλέγοντας την καταλληλότερη.
5. Μπορείτε να επαναλάβετε τα βήματα της προηγούμενης διαδικασίες δίνοντας στις ομάδες διαφορετικά προβλήματα από το ίδιο κεφάλαιο. Στόχος είναι να διαπιστώσουν ότι ακόμα και σε διαφορετικά προβλήματα οι στρατηγικές όχι μόνο είναι απαραίτητες αλλά και ότι όλες τους εδράζονται στην ίδια θεωρία, χρησιμοποιούν το ίδιο εννοιολογικό πλέγμα και ότι οι στρατηγικές χαράζονται για την επίτευξη συγκεκριμένων τελικών ή ενδιάμεσων στόχων.

Αίτια που δυσκολεύουν την επίλυση προβλημάτων

Ο αποτελεσματικός λύτης είναι και καλός σχεδιαστής προβλημάτων.

Από την έρευνα για τις διαφορές μεταξύ αναποτελεσματικών και αποτελεσματικών λυτών προβλημάτων προέκυψε ότι οι δεύτεροι έχουν μεγάλη ευχέρεια να σχεδιάζουν προβλήματα για άλλους που βρίσκονται είτε στο ίδιο επίπεδο γνώσεων και εμπειρίας με αυτούς ή σε χαμηλότερο επίπεδο. Οι σχεδιαστές μπορούν εύκολα να βρίσκουν το “πρόβλημα μέσα στο πρόβλημα” ή να προσδιορίζουν τις ομοιότητες και τις διαφορές από άλλα προβλήματα καθόσον είναι μια συμπληρωματική δραστηριότητα προς αυτήν της επίλυσης. Αν αναλογιστούμε ότι και εμείς οι ίδιοι πολύ συχνά φτιάχνουμε προβλήματα για τους μαθητές μας πειθόμαστε εύκολα για το συγκεκριμένο ερευνητικό συμπέρασμα. Ο σχεδιαστής αρχίζει έχοντας μια ολοκληρωμένη αναπαράσταση ενός φαινομένου, από την οποία αφαιρεί επιλεκτικά τιμές μεγεθών (πχ αρχική ή τελική τιμή της ταχύτητας, συγκέντρωσης, κλπ), αποκρύπτει παραμέτρους που υπεισέρχονται στο πρόβλημα ( πχ τριβή), δεν αναφέρει ένα στάδιο της εξέλιξης του φαινομένου ( πχ ότι υπό την επίδραση μιας δύναμης αντιστρέφεται η φορά της κίνησης), κλπ. Έτσι φτιάχνει το “πρόβλημα μέσα στο πρόβλημα”. Η επίλυση του προβλήματος θα είναι η ολοκλήρωση της ελλιπούς αναπαράστασης που θα παρουσιάζεται με τη διατύπωσή του.

Προτάσεις

Η αξιοποίηση αυτού του ευρήματος είναι σχετικά απλή.

1. Ζητείστε από τους μαθητές να κατασκευάσουν οι ίδιοι προβλήματα στη διάρκεια του μαθήματος, χωρίς να συμβουλευτούν τα σχολικά τους βιβλία και χωρίς αυτά που θα προτείνουν να είναι αυτούσια προβλήματα που έχουν λύσει έξω από την τάξη. Μαζί με τα προβλήματα θα πρέπει να σας δώσουν: α) τη λύση τους, και β) το “πρόβλημα μέσα στο πρόβλημα” που οι ίδιοι επέλεξαν να δημιουργήσουν.
2. Εναλλακτικά μπορείτε να τους ζητήσετε να φτιάξουν 2,3 τέτοια προβλήματα στο σπίτι τους. Προσοχή! Για να μη σας φέρουν αντιγραμμένα προβλήματα από τα διάφορα εξωσχολικά βοηθήματα πρέπει εσείς οι ίδιοι να έχετε αρκετή πληροφόρηση για τα βοηθήματα αυτά και τα προβλήματα που περιέχουν.
3. Σχεδιαστές εναντίων λυτών. Μετά από την ολοκλήρωση ενός κεφαλαίου και την επίλυση αρκετών προβλημάτων μπορείτε να χωρίσετε την τάξη σε ομάδες και να τους αναθέσετε να σχεδιάσουν προβλήματα. Σε σας θα παραδώσουν τις απαντήσεις. Στη συνέχεια οι ομάδες θα ανταλλάξουν προβλήματα και η μια ομάδα θα λύσει το πρόβλημα κάποιας άλλης. Μπορεί με το σύστημα της κυκλικής εναλλαγής να λύσουν περισσότερα από ένα προβλήματα στη διάρκεια του επομένου μαθήματος.

Αίτια που δυσκολεύουν την επίλυση προβλημάτων

Μνήμη εργασίας και επίλυση προβλημάτων.

Η μνήμη εργασίας είναι η περιοχή της μνήμης η οποία χρησιμοποιείται για τις εργασίες της σκέψης. Σε αυτήν αποθηκεύονται προσωρινά στοιχεία τα οποία συγκρίνονται μεταξύ τους, συσχετίζονται σε μικρές δομές, συγκρίνονται με άλλα τα οποία έχουν ανακληθεί από την μακροπρόθεσμη μνήμη, λαμβάνονται αποφάσεις βάσει κανόνων ή κριτηρίων, κλπ. Αυτή για τον ενήλικα με κανονικό δείκτη ευφυίας είναι περιορισμένη. Η έρευνα την έχει προσδιορίσει στην τιμή
7 ± 2. Τι σημαίνει αυτό μπορούμε να το κατανοήσουμε αν θυμηθούμε το παιγνίδι των παπατζήδων. Αυτοί παρουσιάζουν τρία διαφορετικά φύλλα τράπουλας, τα οποία έχουν όλα τα ίδια σχέδια στη μια από τις δύο όψεις τους. Αρχικά τα βάζουν σε μια συγκεκριμένη σειρά για την οποία ενημερώνουν με σαφήνεια το “θύμα” τους. Στη συνέχεια αλλάζουν δύο φορές τη σειρά τοποθέτησης των φύλλων. Έτσι θα πρέπει ο “παίκτης” να θυμάται 3χ3=9 θέσεις στις οποίες τοποθετήθηκαν τα φύλλα, προκειμένου να προσδιορίσει την τελική θέση ενός από αυτά. Αυτό υπερβαίνει τη μνήμη εργασίας του και έτσι “χάνει”. Ο παπατζής είτε διαθέτει την κατάλληλη μνήμη εργασίας είτε έχει σημαδέψει τα φύλλα ώστε να τα διακρίνει.

Η μνήμη εργασίας αυξάνει με την ηλικία και την εξάσκηση. Για τους μαθητές του Λυκείου μπορεί να είναι μικρότερη. Επειδή υπάρχουν προβλήματα με υψηλές απαιτήσεις σε μνήμη εργασίας οι αποτελεσματικοί λύτες έχουν αναπτύξει την τεχνική της ανάλυσης ενός προβλήματος σε επιμέρους τυποποιημένες διαδικασίες οι οποίες ως “πακέτο αλγοριθμικά εκτελούμενων ενεργειών ” καταλαμβάνουν μία μονάδα στη μνήμη εργασίας. Τέτοια “πακέτα” χρησιμοποιούμε συχνά στην επίλυση προβλημάτων. Παραδείγματα είναι η ανάλυση των δυνάμεων στο κεκλιμένο επίπεδο, ο προσδιορισμός των συντελεστών σε μια χημική αντίδραση, η συμπλήρωση του πίνακα με τις ποσότητες των αντιδρώντων και τα προϊόντων στη χημική κινηματική, κ.α.

Προτάσεις

Το συγκεκριμένο εύρημα μπορεί να αξιοποιηθεί με τον τρόπο που είναι γνωστός από την εκπαιδευτική μας παράδοση στην επίλυση προβλημάτων. Αρχικά δε θα παρουσιάσουμε τα ίδια τα “πακέτα” και τα πλεονεκτήματά τους. Οι μαθητές θα τα γνωρίσουν είτε ως ασκήσεις είτε ως προβλήματα και θα τα εμπεδώσουν μέσα από πολλές εφαρμογές. Στη συνέχεια μέσα από κατάλληλα επιλεγμένα προβλήματα οι μαθητές με τη δική μας καθοδήγηση (μεταγνωστική δραστηριότητα) θα αναγνωρίσουν ότι πρόκειται για “πακέτα” ενεργειών οι οποίες υλοποιούνται με την ίδια σειρά και με τον ίδιο τρόπο. Μέσα από πλέον πολύπλοκα προβλήματα θα διαπιστώσουν τα οφέλη που έχουν όταν τα χρησιμοποιούν σωστά.

Προσοχή ! Οι μαθητές θα παρασυρθούν και θα επιχειρήσουν, με τη συνδρομή αρκετών από τα σχολικά βοηθήματα που κυκλοφορούν, να επεκτείνουν την ιδέα του “πακέτου ενεργειών” στην επίλυση προβλημάτων. Στην περίπτωση αυτή με τη χρήση διαφόρων τεχνικών κατάταξης των προβλημάτων σε ομάδες (πχ όταν δίνονται ….. και ζητούνται….) επιχειρούν να λύσουν τα διάφορα προβλήματα αναλογικά είτε προς τα προβλήματα “πρότυπα” των διαφόρων ομάδων είτε προς τις παραλλαγές τους. Συχνά πετυχαίνουν. Πετυχαίνουν όταν τα προβλήματα τα οποία στοχεύουν να διαγνώσουν αν οι μαθητές απέκτησαν δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων και τις ανάλογες γνώσεις, προέρχονται από συλλογές ταξινομημένων προβλημάτων όπως αυτά που προαναφέρθηκαν ή οι σχεδιαστές τους εμφορούνται από την ανάλογη λογική.

Αίτια που δυσκολεύουν την επίλυση προβλημάτων

Δυσκολεύονται να χρησιμοποιήσουν σωστά τα Μαθηματικά που γνωρίζουν

Δικαιολογημένα. Οι γνώσεις και οι γνωστικές δεξιότητες είναι στενά συσχετισμένες με το “περιβάλλον” στο οποίο γεννήθηκαν και αναπτύχθηκαν (situated learning). Οι μαθηματικές συναρτήσεις αναφέρονται σε ένα “περιβάλλον” στο οποίο οι οντότητες (αριθμοί) και οι μεταξύ τους σχέσεις (ισότητας, ανισότητας, δυνάμεις, κλάσματα, κλπ) και οι πράξεις οικοδομούν ένα μαθηματικό κόσμο. Ο μαθηματικός αυτός κόσμος περιγράφει τον κόσμο της Φυσικής μέσα από αντιστοιχήσεις αριθμών σε οντότητες όπως η μάζα, ο χρόνος, η ορμή, το δυναμικό, το φορτίο, κλπ. Οι μεταβλητές στη Φυσική ή τη Χημεία δεν είναι αδιάστατες όπως στα Μαθηματικά αλλά έχουν διαστάσεις που αντιστοιχούν σε οντότητες του κόσμου της Φυσικής. Οι δεξιότητες για την επίλυση μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης δεν μπορεί αυτόματα να μεταφερθούν στην επίλυση μιας σχέσης πρώτου βαθμού, πχ μιας ευθύγραμμης ομαλής με αρχική απομάκρυνση. Η εξαγωγή συμπερασμάτων από τη γραφική παράσταση μιας δευτεροβάθμιας συνάρτησης ( η μονοτονία, τα κύλα τα κυρτά, κλπ) ή ο υπολογισμός της κλίσης σε ένα σημείο της έχουν διαφορετικό νόημα όταν η ίδια συνάρτηση είναι η τροχιά σε μια βολή, ή η απομάκρυνση στην ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα.

Προτάσεις

Μπορούμε να υποβοηθήσουμε την μεταφορά των γνώσεων και των γνωστικών δεξιοτήτων όταν χτίσουμε μια “γέφυρα” μεταξύ Μαθηματικών και Φυσικής,. Χημείας, κλπ. Από τη μία πλευρά θα είναι οι συναρτήσεις ή εξισώσεις των Μαθηματικών και από την άλλη οι ίδιες συναρτήσεις οι εξισώσεις αλλά με σύμβολα Φυσικής ή Χημείας. Για παράδειγμα στην μια πλευρά θα είναι η εξίσωση 10=5χ και στην άλλη το 6m=3m/s² t ή το 20J=5Kg.10m/s².h, ή το 30N=10Kg.a , και άλλες ανάλογες σχέσεις. Πρώτα θα τους ζητήσουμε να λύσουν την εξίσωση στα Μαθηματικά. Μετά να αναγνωρίσουν τα σύμβολα στις μαθηματικές σχέσεις. Στη συνέχεια θα τους ζητήσουμε να βρουν τις αντιστοιχίες μεταξύ των συμβόλων της Φυσικής και του χ στην εξίσωση των Μαθηματικών, και να λύσουν τις εξισώσεις της Φυσικής.

Αφού ολοκληρωθεί αυτό το στάδιο θα επαναλάβουμε τη διαδικασία μεταξύ συναρτήσεων και σχέσεων ή τύπων της Φυσικής. Πχ μεταξύ των τρόπων επίλυσης της y=ax και των u=at, F=ma, U=mgh, κλπ. Θα τους ζητήσουμε να λύσουν με όλους τους τρόπους την y=ax, δηλ a=y/x, x=y/a. Ανάλογα να κάνουν και με τις σχέσεις της Φυσικής, λέγοντάς μας κάθε φορά ως προς τι λύνουν. Σταδιακά και με την εμφάνιση πιο πολύπλοκων σχέσεων θα τους ζητήσουμε να επαναλάβουν την ίδια διαδικασία με τις ανάλογες μαθηματικές συναρτήσεις.